Pallon hitausmomentti
Umpinaisen homogeenisen pallon hitausmomentille on johdettu kaava J = 2/5 MR^2. Tähän tulokseen voidaan päätyä monella eri tapaa. Tässä esitän kaksi erilaista tapaa päätyä kyseiseen lopputulokseen. Palautetaan aluksi mieleen hitausmomentin määritelmä:
J = Sum(i = 1->n) mi ri^2
Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että summataan massa-alkioita mi yhteen siten, että kyseisen alkion etäisyys pyörähdysakselista on ri. Hitausmomentti lasketaan aina jonkin pyörähdysakselin suhteen. Kappaleella on pyörimisenergia Erot = 1/2 Jw^2, missä w on kulmanopeus. Tästä voidaan päätellä, että mitä suurempi hitausmomentti on, sitä enemmän energiaa tarvitaan pyörittämään kappaletta tietyllä kulmanopeudella.
Tapa 1:
Pistemäisen kappaleen hitausmomentti on MR^2. Jos tällaisia pistemäisiä massoja on ympyrän kehällä (säde R) tasaisesti, on kyseisen kehän hitausmomentti myös MR^2, sillä R = vakio ja M on kehän massa, eli pisteiden yhteenlaskettu massa. Ratkaistaan tämän tiedon avulla onton pallon hitausmomentti integroimalla tällasia onttoja sylintereitä:
Koko pallonkuori saadaan kasaan kun integroidaan ympyrän kaaria siten, että kulma a käy arvosta 0 arvoon Pi. Jkuori = § r^2 dm = § r^2 p * dV = § r^2 p * (2 Pi r)*h*dr
Tässä p on aineen tiheys (vakio), r on integroitavan sylinterin säde, h on pallonkuoren paksuus (vakio) ja dr on sylinterin korkeus (huom. dr ei ole suora vaan kaari, sillä pallon pinta on kaareva. Tästä syystä se saadaan helposti laskettua radiaanin määritelmän avulla: dr = R * da. Kun tämän lisäksi lausutaan vielä r = R sin a, niin saadaan integraali muotoon:
Jkuori = § (sin a)^2 R^2 p * (2 Pi) sin a * R * h * R da
= § (sin a)^3 R^4 2 Pi p h da
= § (1 - (cos a)^2)(sin a) da * 2Pi*phR^4
= § (sin a - sin a (cos a)^2) da *2Pi*phR^4
= / (-cos a + 1/3 (cos a)^3) * 2Pi*phR^4
= [-cos Pi + 1/3 (cos Pi)^3 + cos 0 - 1/3 (cos 0)^3] * 2Pi*phR^4
= [1 - 1/3 + 1 - 1/3] * 2Pi*phR^4
= 8/3 Pi*phR^4
